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比率估計求變異數

發問:

出處:黃文隆抽樣方法已知ㄧ漁民於某時於湖水中網上一批魚,並將他們做記號再放回養殖一段時間,今漁民在湖中一些隨機點用網在撈魚,每拉依次網視為一抽樣單位,並記下網中被記號過的魚數為xi及全網中之魚數為yi.若當初被記號過之魚數X為1146,並設湖中總數為Y,1.若隨機在不同點拉上16次網,得xi總和=596,yi總和=15192, sx^2=482.2, sy^2=216180, r'=0.9,試求var(Y)2.上述估計應在何假設下進行較合理3.若16次網上魚中,已被記號過之魚數比例為p-hat,並用Y-hat=X/P-hat... 顯示更多出處:黃文隆抽樣方法已知ㄧ漁民於某時於湖水中網上一批魚,並將他們做記號再放回養殖一段時間,今漁民在湖中一些隨機點用網在撈魚,每拉依次網視為一抽樣單位,並記下網中被記號過的魚數為xi及全網中之魚數為yi.若當初被記號過之魚數X為1146,並設湖中總數為Y, 1.若隨機在不同點拉上16次網,得xi總和=596,yi總和=15192, sx^2=482.2, sy^2=216180, r'=0.9,試求var(Y) 2.上述估計應在何假設下進行較合理 3.若16次網上魚中,已被記號過之魚數比例為p-hat,並用Y-hat=X/P-hat 估計Y,試計算此估計值之近似標準差(註:var(1 / P-hat) 近似於 var [(P-hat) / P^2] ) 4.用何數據判斷有記號的魚混合的很均勻沒給總數,直接用N代? 更新: 不好意思我打錯了,是求var(Y-hat)

最佳解答:

2. 假設有記號的魚完全混合在整個湖的漁群中. 因此, x_i/y_i 應不會差太多. 4. 為檢定是否符合上列假設, 以16個點網得的資料做比例均齊性檢定: H0: p_1 = ... = p_16 Ha: p_1,...,p_16 並非全相等. 以各次下網收穫之漁中有無記號構成 2×16 交叉表, 做卡方檢定. 1. 問題語焉不詳. Y 既為總魚數, 應假設是固定但未知, 因此才有第3 小題之估計, 又何來 Var(Y)? 2013-05-20 13:15:37 補充： 3. 設 p^ = Σx_i/Σy_i. 在 p_1=...=p_16=p 之假設下, given Σy_i, 則 Σx_i 是 n=Σy_i, 成功率 p 的二項分布. 引用 delta-method, 令 g(p^) = 1/p^, 則 AsVar(p^) = (g'(p))^2 Var(p^) = (1/p^4)p(1-p)/n =(1-p)/(np^3) 2013-05-20 13:15:57 補充：因 Y^ = X/p^ , 故 AsVar(Y^) = X^2 AsVar(1/p^) = X^2(1-p)/(np^3) ASD(Y^) = X√[(1-p)/(np^3)] = (X/p)√[(1-p)/(np)] = Y√[(1-p)/(np)] 將 p^ = Σx_i/Σy_i 代入 p, 得 ASE(Y^) = (Y^)√[(1-p^)/(np^)] 2013-05-20 13:16:13 補充： Note: 除了 delta-method 外, AsVar(1/p^) 也可導之如下: E[1/p^] ≒ 1/E[p^] = 1/p (註: 事實上 E[1/p^] > 1/E[p^] by Jensen's inequality.) AsVar(1/p^) ≒ E[(1/p^ -1/p)^2] = E[(p-p^)^2/(pp^)^2] ≒ E[(p^-p)^2]/(p^2)^2 = p(1-p)/(np^4). 2013-05-20 16:28:21 補充：第1小題並未指明 Y 如何估計, 也無所謂估計量之變異數多少, 以及如何估計問題. 又, 所附之 r' 的值是相關係數? 那又有何用? Y 如果用 "比率估計", 就如第3小題(雖然 Var(Y^) 套用比率估計公式或許會不同於引用二項比例變異數公式). 而此例並不適用迴歸估計, 因為並沒有明確的 "抽樣單位". 樣本勉強可以說是撒撈一次網算一個單位, 但無法說清楚群體單位數有多少. 2013-05-21 09:13:14 補充：導了一下 "比率估計" 的近似變異數公式, 得 Mse(Y^) = E[(Y^ - Y)^2] ≒X^2/xbar^2 [Var(ybar)-2R Cov(xbar,ybar)+R^2 Var(xbar)] 其中 R = Y/X 是群體的比率. 用樣本資料估計之, 得 estimated Mse(Y^) ≒ (X^2/xbar^2)[s(y)^2-2(R^)r's(x)s(y)+(R^)^2s(x)^2] 其中 R^ = ybar/xbar = Σy_i/Σx_i 是樣本比率. 2013-05-21 09:13:37 補充：事實上此例用這個比率估計的 Mse 公式是否妥當不無疑問, 因為該 Mse 公式是假設 1/xbar ≒ 1/Xbar (Xbar 是虛想的 "群體平均數") 然而, 一是無法明確定義群體中的 "抽樣單位", 再則 n=16 其實有點小. 2013-05-21 09:13:50 補充： xbar = 596/16 = 37.25 s(x) = √482.2 = 21.96, se(xbar) = 21.96/√16 = 5.49 考慮2倍標準誤範圍 37.25±10.98 = 26.27～48.23 則 1/Xbar 在 1/26.27=0.038066 至 1/48.23=0.020734 之間, 這範圍不算小, 將近兩倍了! 而 1/xbar = 0.026846, 這表示用上述公式計算 Y^ 的 Mse 可能大約高估或低估至3成多. 2013-05-21 10:22:32 補充： 1. 設 Y^ = X*R^ , 其中 R^ = ybar/xbar = Σy_i/Σx_i 是樣本比率. R^ = 15192/596 = 25.490, Y^ = 1146*25.490 = 29211. "比率估計" 的近似變異數公式: Mse(Y^) = E[(Y^ - Y)^2] ≒X^2/xbar^2 [Var(ybar)-2R Cov(xbar,ybar)+R^2 Var(xbar)] 其中 R = Y/X 是群體的比率.用樣本資料估計之, 得 estimated Mse(Y^) ≒ (X^2/xbar^2)[s(y)^2-2(R^)r's(x)s(y)+(R^)^2s(x)^2]/n 將數據代入, xbar = 596/16 = 37.25 var(Y^) ≒ (1146/37.25)^2 [216180 - 2(25.490)(0.9)√(21680)√(482.2) + (25.490)^2 (482.2)]/16 = 22546334. 上列計算由於相關係數只取一位小數, 也就是只有一位有效數字, 因此是很不精確的. 2. 假設有記號的魚完全混合在整個湖的漁群中. 因此, x_i/y_i 應不會差太多. 3. 設 p^ = Σx_i/Σy_i. 在 p_1=...=p_16=p 之假設下, given Σy_i, 則 Σx_i 是 n=Σy_i, 成功率 p 的二項分布. 依提示, AsVar(p^) = Var(p^)/p^4 = (1-p)/(np^3) 因 Y^ = X/p^ , 故 AsVar(Y^) = X^2 AsVar(1/p^) = X^2(1-p)/(np^3) ASD(Y^) = X√[(1-p)/(np^3)] = (X/p)√[(1-p)/(np)] = Y√[(1-p)/(np)] 將 p^ = Σx_i/Σy_i = 596/15192 = 0.039231 代入 p, 得 ASE(Y^) = (Y^)√[(1-p^)/(np^)] = 29211*√[(1-0.039231)/(15192*0.039231)] = 1172.83 這結果與採用 "比率估計" 之 "近似變異數" 公式相差懸殊. 但需知: 比率估計 "近似變異數" 公式其實也需要大的 n, 而在本例, n=16. 注意依二項分布計算時 n 是 Σy_i = 15192, 這足以保證 CLT 適用 (雖然 p 很低, 但 np = Σx_i = 596 夠大) 以及 AsVar 及其估計值的精確性. 反觀比率估計近似變異數公式, (X^2/xbar^2)[s(y)^2-2(R^)r's(x)s(y)+(R^)^2s(x)^2]/n 基本上假設 xbar 接近虛想中的群體平均 Xbar. 但 se(xbar) = √(482.2/16) = 5.49. 考慮2倍標準誤範圍 37.25±10.98 = 26.27～48.23 則 1/Xbar 在 1/26.27=0.038066 至 1/48.23=0.020734 之間, 這範圍不算小! 而 1/xbar = 0.026846, 這表示用上述公式計算 Y^ 的 Mse 可能大約高估或低估至3成多. 4. 為檢定是否符合上列假設, 以16個點網得的資料做比例均齊性檢定: H0: p_1 = ... = p_16 Ha: p_1,...,p_16 並非全相等. 以各次下網收穫之漁中有無記號構成 2×16 交叉表, 做卡方檢定.

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